Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
Защита состоится 11 марта в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АНРТ.
Автореферат разослан 6 февраля 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одним из главных направлении исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей С(а), лежащих на критической прямой.
Функция ((s) на всей s плоскости является аналитической е единственной особенностью и точке s = 1, где она имеет полюс перво-i'o порядка с вычетом, рапным 1. Функция £(s) обращается и пуль при s = —2, —4. —2п. ; эти нули £(s) называются "тривиальными". Кроме тривиальных, £(s) имеет бесконечно много нулей в полосе О < Res < 1, которая называется "критической". Нетривиальные нули комплексно сопряжены и расположены симметрично относительно прямой Res =
Риман высказал гипотезу ("гипотеза Римана"), что вес нетривиальные нули ((s) лежат на прямой Res — которую называют "критической" прямой. Гипотеза Римана является одной из центральных проблем аналитической теории чисел и математического анализа. К настоящему времени опа не доказана.
В 1918 г. и 1921 г. Харди и Литтлвуд3,4,0-и доказали следующие утверждения, которые значительно перекрыли первую теорему Харди:
а) промежуток (Г, Т + II) при Т > То > 0, Н > T°-2S+' содержат нуль нечетного порядка (,(1/2 + it);
'lliirilv С.11. .Sur lis М'ПВ ill- la U>m-1i->ii <(.->) (К- [¡immun Uunpi lii-inl. .Vad.Si-i 1911. v.lSS. Р.1Ш2 HIM.
'Landau Fl Ub'4- <lit- Hunlvjiclu- ftiiuk-rkmi^; un'-ndliili vick-r NulLstollon ck-r X<LU-itiiikti->n mit reok-u r. ij 1. Mal i-ii. Aim.. 1915. В. 7(1. S. 212 243.
:1Иап1у CM1., Lit lit-wood .1.1;. Contrilmt ions to tho theory of liiemami -/.etu hint-lion um! Ulf theory о Г distribution of primes ,.'Asta Math, 191«. v.41. P.Iii) lOti.
'Hardy G.H., Littlmwl -I.E. Tin- zeros of Hiemamfs zela functions au the critual liuo /'.'Math.Z. 1021. Bil 10. S.283 317.
"Ilardy G.H.; LillU-u'iHxl Л.Е. Ihr I rinoaoniet rical series associated with Ihr elliplic в f'unciion. Acta luaili.. 11)11, ЭТ, р. 19.4-239.
''Hardy G.H., I.itlli-нчю'! .I.E. The approximate functional сцпииои iu the theory of i In- zota-fuuctioti \villi applications to I he divisor problems of Dirichlet and Pillli. I'roc. Loudon Math. Soc. (2), 1922, 21, p. 39 74.
б) в промежутке (Т,Т + Н) при Г > Т0 > О, Я > Т°-5+г содержатся не меньше чем сН нулей нечетного порядка ((1/2 + tf). с = с(е) >0 постоянная.
Эти утверждения стали источником двух направлений исследований, одно из которых касается оценки сверху расстояния между соседними вещественными нулями £(1/2-Ht), а другое - "плотности" нулей ((1/2 + ;i) на промежутках вида (Т,Т + Н), Я = Та+е с возможно меньшим значением а.
Выдающимся достижением явилась теорема А. Сельбсрга7 1942 г. о том, что в промежутке (Т,Т + Я) при Т > Tq > 0, Я > Т0,5"1"5 содержатся по крайней мере сН In Г нулей нечетного порядка C(l/2 + it), с = с(е) >0 - постоянная. Из формулы Маш'ольдта8 о количестве N(t) нулей ((s) в прямоугольнике 0 < Res < 1, 0 < Ims < Т:
следует неулучшаемость результата Сельбсрга.
В той же работе Сельберг высказал гипотезу о том, что его результат должен иметь место при Я = Т™+€, где а- фиксированное положительное число, меньшее 1/2. Эту гипотезу с а = 27/82 решил A.A. Карацуба9.
В 1974 г. Лсвинсон10 доказал, что по крайней мере треть всех нулей ((s) лежит на критической прямой.
Новых важных результатов в названных проблемах достиг чешский математик Ян Мозср11,12. В 1976 и 1980 гг. Мозср доказал, что при Т > Т0 > 0, Я > Т1/й In2 Т промежуток (Г, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции ((1/2 + it), а при Н > Г0/12 In3 Т этот же промежуток содержит, не меньше чем сН таких пулей.
В 1981 г. A.A. Карацуба13 получил оценку тригонометрическую суммы
'SrllxiR Л. Он 11ю »44» "Г Kicliianii's zcU-fiimliun // Sin', Norske Vid. AkutUfel». 1012. v. 1(1, p. 1 59.
"Maugoltlt H. Zur Verteilniig der Nullstelleii der Rmiaiiusclier Funktion C(í) : Math.Aun. 11)05. В<1 ВО. S.l-19.
9Карацуба Л.Л. С) нулях функции в OKjHHrrmxrni крнтичеекон прямой / ibi:. Л11 СССР, <rp. матеы. 1984, т. 40, №2, с. 326 383.
"'Leviusou N. More üum ош; tUird of the у.огчл of llieuiaim's wty-hmuion art* оц о
1/2 // Adv. in Math., 1974, v. 13, p. 383-436.
1 'Mo:юр Я. Некоторые ешистиа ;víO'ru функции Римана на кричичеекоц up-лмпй .',' AeUi Arilli. 1974. V. 2«. Г. 33-39.
|:гМо:юр Я. Улучшение теоремы Харди Лштлмуда о нлопностн пулен фушшпн il) '/ Acia
шаth UHiv.Coineri.Bratislava. 10S3. V. 42 43. P. 41 50.
'•'Карацуба A.A. О расстоянии между (-<><-одними нулями диета функции Рнмапа, лежащих на критической прямом " Груды .MMAII.lüSl. т. 1.'.7.(М!Ий.
которая позволила ему получить более точный результат, чем результат Яна Мозера:
Теорема 1. При Н > Т" In'2 Т, а = 5/32, Т > Т0 > 0 промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль начетного порядка функции ((1/2 + it).
Показатель а = 5/32 интересен в силу следующих обстоятельств. Мо-зер связал показатель а в подобном утверждении с оценкой |С(1/2 + it)| и, в частности, с гипотезой Линделефа.
Теорема 2. Пусть к- натуральное число, Т > То(к) > О, Н > сГ1/(б1-+б) ln2/(t+i) Т) с= > 0 Тогда промежуток (Т,Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z^(t).
A.A. Карацуба14 но пово,цу этих теорем сделал замечание: Еаш для оценки тригонометрической суммы С(и, М) пргшенить более сложные методы, например метод жспопепциа.о,ъиых пар. то дм суммы С(и, М) получит,ся более точная оценка.
Решение поставленных задач A.A. Карацубы оценок специальных тригонометрических сумм через теорию экспоненциальных нар и его применение к исследование расстояния между соседними пулями дзета функции Римана, лежащими па критической прямой, является основным результатом настоящей диссертации.
Цель работы. Целью работы является доказательство новых теорем о длине промежутка критической прямой, в которой заведомо содержится нудь нечетного порядка функции Харди п се производных.
Методика исследований. В основе исследований лежи:' метод Виноградова - Вандер Корнута об оценке специальных тригонометрических сумм.
11С.М.Во1кшш1.А.А.КараиуГш Дача функция Римана. М.:Фюиатл>!т, Ш1 ЗТ(к-. 1SBX 5 02 01412(1 S.
Научная новизна.. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем: •
задача о величине промежутка (Т.Т + Н) критической прямой, в которой содержится пуль нечетного порядка функции Хардн и се производных, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных нар дли оценки специальных тригонометрических сумм:
- применением метода оптимизации экспоненциальных пар длина промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечетного порядка дзета-функции, выражена через константу Ранкина.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследовании могут быть применены к дальнейшим исследованиям проблем распределения нулей дзета-функции Рнмана, лежащих на критической прямой.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па общопнетитутеком семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х. Рахмонова, на международных научных конференциях "Математика н информационные технологии" (2006г.), "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и ипформатики"( 2007г.), "Комплексный анализ и пекласеическпе системы дифференциальных уравнений^ 2007г.) в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан; па научно исследовательском семинаре кафедры алгебры н теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в ТГНУ (2004-2008 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура И объём работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых па параграфы. Общий объем работы 66 страниц. Список цитированной литерат-уры включает 50 наименований.
Диссертационная работа посвящена сведению задачи о длине промежутка критической прямой, в которой заведомо содержится пуль нечетного порядка функции Хардн и ее производных, к проблеме отыскания экспоненциальных нар для оценки специальных тригонометрических сумм и применению оптимальных экспоненциальных пар, позволяющих чту длину выразить через константу Ранкина.
Диссертация состоит из двух глав. В первой главе рассматривается рас-
стояние между соседи и ми пулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.
Функция Хардн Z(t.) задастся равенством
Функция Хардн Z(t) принимает вещественные значения при вещсствси-ных значениях t и вещественные нули Z(i) являются нулями £(s), лежащими на критической прямой.
Определение. Если В >1, 0 <h< В, F(u) 6 СХ(В,2В), А > 1,
где постоянная под знаком <SL зависит только от г, и имеет место оценка
e(F(n)) < AkBl, 0 < fc < 0,5 0,5 < I < 1,
то пара (k; I) называется эгхпоненциалънай парой.
Тривиальная оценка показывает, что (0; 1) является экспоненциальной парой. Е. Phillips10 показал, что если (k\ I) экспоненциальная пара, то
В(к; 1) = (1- 0,5, к + 0,5) (В - процесс)
также являются экспоненциальными парами.
В втором параграфе первой главы доказывается следующая основная лемма об оценке тригонометрической суммы С (и, М) методом экспоненциальных пар, которая затем применяется при доказательстве теорем 1.3.1 и 2.2.1:
Лемма 1.2.1. Пусть (к, I) произвольная экспоненциальная пара и
Тогда для тригонометрической суммы
Phillips Б. Т1к; »Ча fuculkm of ßitfuuuu: funhor drvolopuK*m.s of vau tier Corpui's method // Quart. .1. MaUi.(C)xforl). 1033, v. 4, 20j 225.
спрюсдливп следующая оценки
Заметим, что эта лемма доказывается по схеме доказательства леммы A.A. Карацубы, в сочетании с методом экспоненциальных нар.
В третьем параграфе первой главы доказывается основная теорема о расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой.
Теорема 1.3.1. Пусть (к,1) - произвольная экспоненциальная пара, Т>Т0> 0, Я>Т^:'>1п2Т,
Тогда промежуток (Г, Т+Н) содержит нуль нечетного порядка функции Харди Z(t).
При доказательстве этой теоремы и теоремы 2.2.1 мы существенно пользуемся методами работ А.А.Карацубы10, в которых, соответственно, доказаны гипотезы Сельберга о нулях дзета-функции Римана на критичес-кой прямой и в ее окрестности, и работой 3-Х. Рахлюиова1,. в которой доказана плотностная теорема для нулей дзета функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы. Основные этапы доказательства теоремы 1.3.1 таковы. Считаем, что t принадлежит промежутку Не ограничивая общности, можно считать число Т таким, что
— + — = 2тгК, А' целое число. 2 8
Воспользуемся формулой Рнмапа-Знгеля
m = 2 £ cos(^-ilnn)+0(Hlnt) (1)
1 "Карадуба A.A. О нулях функции ((s) ли к^югкнх промежутках критическом прямой // Iii». АН СССР, сор. .чэтем. ШЛ, т. 18. ЪЮ öiH.
1'Рахмонои З.Х.' Ну.ш д юга-функции Римана к коротких щхшожутках критической примой "Чсбышом'кий сборник. 200Ö. т. ü. ими 3(10). стр. 45-ÖS.
Выводя асимптотическую формулу для 0(f) и заменяя величину \ —
величиной \/ —, отчего правая часть к (1) изменится на величину поряд-V 27Г
ка ие выше получим для Z(t) следующую формулу
Определим числа t„ из уравнения t„ In P = irv и будем рассматривать v такие, чтобы выполнялись ие])аве1ктва
Для этого возьмем
и определим числа v равенством
v = i>0 + щ + . + иг, 0 < vi. ur < Hî-l,
ь = Е - Е ад. ь = E - Е(-1)"ад-
Если будет доказано неравенство | Sr>| > |Si|, то тем самым будет доказано изменение знака у функции Z(t) при некотором t = t„. то есть будет доказано существование нечетного нуля функции Z(t) на промежутке (Т, Т + Н). Поэтому модуль суммы Si оценим сверху, а модуль суммы So снизу.
Пользуясь определением t.„ и формулой приведения для косинуса, имеем
Выделяя в S-2 слагаемое с n = 1 и имея » виду, что оно будет равно числу Я[, имеем
52 = Я[ + Д + 0(Я;Т-5 1пГ),
где R та же сумма S2, в которой слагаемое с п = 1 отсутствует. Оцепим снизу IS2I. Имеем
2<n<P v Kl=0 fr=0 4
Применяя к внутренней сумме по v, которая является линейной, из-
всстную оценку и имея в виду, что ——— < -, последовательно получим:
^ (и\цп\ . ( Inn -Л . ( 21nP\
g ЧШРJ " mm P 2bP J ^ min
21nP\ ^ 2 InP Inn
Подставляя найденную оценку в правую часть неравенства для |Я|, заменяя сумму интегралом, покажем, что |Д| < 8(21пТ)г Н